物理光学

物理光学

光学的分类

​ 光学有两个重要的分支，分别是几何光学和波动光学。

• 波动光学
  • 光在介质中以波的形式传播
  • 可以解释衍射，干涉等现象
  • 以波长为研究对象，非常复杂
• 几何光学
  • 可见光的波长非常短，可以忽略
  • 在 λ→0λ→0 的情况下，光学定理可以用几何学描述
  • 光可以看做沿着直线传播

图形学的光学需求

​ 计算机图形学中使用几何光学，但是几何光学模型仍然过于复杂，因此，计算机图形学中的几何光学模型，相比物理学中的几何光学模型继续做了如下简化：

1. 物体表面是绝对光滑(smooth)的
2. 光只可以被发射(emitted)，反射(reflected)或者传播(transmitted)
3. 光速无穷大*(光以无限快的速度沿直线传播)

1. 在某些极其特殊的光照模型(需要光程差)中不适用，不过实时渲染中暂时没有使用这些光照模型的可能

图形学使用的几何光学定理

​ 光入射到物体表面时，同时发生反射和折射。

1. 反射定理

​ 光射到一个界面上时，其入射光线与反射光线成相同角度

θ1=θ1θ1=θ1

2. 折射定理

1. 折射光线位于入射光线和界面法线所决定的平面内；
2. 折射线和入射线分别在法线的两侧；
3. 入射角 θ1θ1 的正弦和折射角 θ2θ2 的正弦的比值，对折射率一定的两种媒质来说是一个常数。

n1sinθ1=n2sinθ2n1sinθ1=n2sinθ2

3. 菲涅尔定理

​ 在计算机图形学中，人眼看到的是物体表面反射的光，因此我们要求出物体表面反射部分光线的能量。

L2=(1−RF(θ1))n22n21L1L2=(1−RF(θ1))n22n12L1

​ 该公式在计算时依旧过于复杂，所以实际计算时一般使用菲涅尔反射能量公式的Schlick近似公式：

RF(θi)≈RF(0o)+(1−RF(0o))(1−cos¯¯¯¯¯¯¯θi)5RF(θi)≈RF(0o)+(1−RF(0o))(1−cos¯θi)5

​ 反射率随入射角变化曲线：

金属：

非金属：

​ 在接近平行物体表面观察的情况下，非金属平整表面也有很明显的镜面效果。

由光学定理推导渲染方程

​ 在这里推导GGX BRDF。

1. 图形学中几何光学模型的限制

​ 目前为止的理论要求我们所处理的表面是绝对光滑的，但只有相当于微观原子尺寸上，表面才可能绝对光滑，在实际物体表面物体是有微小的无规则起伏的。

2. 微面元理论

​ 核心思想：使用一个统计分布函数来描述微观尺寸

​ 假设我们能够处理微观尺寸，则来自同一个方向的光照会被反射至多个方向。那么只要能够模拟这个行为，就能在像素尺寸模拟微观结构的光学行为。所以可以定义一个法线分布函数，以代替单个像素的法线值。

3. 法线分布函数D

​ 法线分布函数表示微面元发现方向的统计分布。给定一个入射方向，一个微面元有多大概率朝向半向量方向。

​ 法线分布函数有各向同性、各向异性之分。

​ 对于GGX(二维函数，园对称)，只需要表面的

• 粗糙度
• 半向量与法线的夹角

D(h)=α2π⟮(n⋅h)2(α2−1)+1⟯2D(h)=α2π⟮(n⋅h)2(α2−1)+1⟯2

​ 法线分布函数虽然模拟了表面的凹凸的情况，但是缺忽略了一个问题，那就是微面元上光线被凹凸遮挡的问题。

​ 为了解决这个问题，引入一个阴影补偿函数G，来模拟表面凹凸遮挡阴影的情况。

4. 双向阴影遮挡函数G

​ NDF假设所以微面元位于同一平面，不考虑实际几何结构导致的遮挡。它描述的是那些具有半向量法线的微面元中，有多少比例是同时被入射方向和反射方向看到的(或者说没有被阻挡的)，一般使用史密斯阴影函数。

k=(α+1)28k=(α+1)28

G1(v)=n⋅v(n⋅v)(1−k)+kG1(v)=n⋅v(n⋅v)(1−k)+k

G(l,v,h)=G1(l)G1(v)G(l,v,h)=G1(l)G1(v)

用来补偿的阴影遮挡函数G是一个纯粹的经验模型，没有任何光学理论的支撑。函数 G1G1 表示光没有被凹凸表面遮挡的概率。将入射光和反射光概率相乘就是整个光路光线不被遮挡的概率。所谓双向，就是入射光和反射光两个方向

​ 现在我们有了物体表面能量的表示方法。由于我们只关心反射能量，所以上述公式还要再乘以菲涅尔公式，就是物体表面的反射能量。

5. 双向分布函数BRDF

f(l,v)=D(h)F(v,h)G(l,v,h)4(n⋅l)(n⋅v)f(l,v)=D(h)F(v,h)G(l,v,h)4(n⋅l)(n⋅v)

• DD 为法线分布函数
• FF 为菲涅尔函数
• GG 为双向阴影遮挡函数
• 4(n⋅l)4(n⋅l) 为微面元坐标系向世界坐标系变换的雅可比行列式

6. BRDF的物理性质

• 赫姆霍兹互反律(Helmholtz reciprocity)
• 能量守恒*

​ 解释一下BRDF的能量守恒。BRDF能量遵循如下公式。

fr(ωi,ωr)=dLr(ωr)dEi(ωi)=dLr(ωr)Li(ωi)cosθidωifr(ωi,ωr)=dLr(ωr)dEi(ωi)=dLr(ωr)Li(ωi)cosθidωi

fr(ωi,ωr)=fi(ωr,ωi)fr(ωi,ωr)=fi(ωr,ωi)

∫Ωfr(ωi,ωr)cosθidωi⩽1,∀ωr∫Ωfr(ωi,ωr)cosθidωi⩽1,∀ωr

​ BRDF并不一定遵循能量守恒，只能保证反射出的总能量不大于入射的能量。就是说，BRDF模型发射光相比真实的物理情况可能要暗一些。

7. 其他常见的BRDF模型

Blinn-Phong，简单快速，各向同性，表达能力有限：

D(h)=α+22πcosα(δ)D(h)=α+22πcosα(δ)

G(l,v,h)=(n⋅l)(n⋅v)G(l,v,h)=(n⋅l)(n⋅v)

Cook-Torrance，复杂一些，各向同性，可以较好地表达真实材质：

D(h)=1πβ2cos4(δ)e−tan2(δ)β2D(h)=1πβ2cos4(δ)e−tan2(δ)β2

G(l,v,h)=min{1,2(n⋅h)(n⋅v)v⋅h,2(n⋅h)(n⋅l)v⋅h}G(l,v,h)=min{1,2(n⋅h)(n⋅v)v⋅h,2(n⋅h)(n⋅l)v⋅h}

Ward，复杂一些，支持各向异性：

D(h)=1πα2e−tan2(δ)α2D(h)=1πα2e−tan2(δ)α2

G(l,v,h)=(n⋅l)(n⋅v)−−−−−−−−−√